Úlohy pro SŠ

• Úloha 1 Zobrazit řešení

  Zadání: Připišeme-li k danému číslu číslici 1 vpravo, dostaneme dvojciferné číslo 4,5krát větší než číslo, které bychom dostali, kdybychom číslici 1 připsali vlevo. Určete dané číslo.

  Řešení:
  Označme původní číslo jako \( x \). Připíšeme-li číslici 1 vpravo, dostaneme číslo \( 10x + 1 \). Připíšeme-li číslici 1 vlevo, dostaneme číslo \( 10 + x \).
  \(\ 10x + 1 = 4,5 \cdot (10 + x) \ \)
  \(\ 10x + 1 = 45 + 4,5x \ \)
  \(\ 10x - 4,5x = 45 - 1 \ \)
  \(\ 5,5x = 44 \ \)
  \(\ x = 8 \ \)
  Původní číslo je \( x = 8 \).

• Úloha 2 Zobrazit řešení

  Zadání: Ze tří různých nenulových cifer vytvoříme všechna trojciferná čísla s různými ciframi. Potom tato trojciferná čísla sečteme a výsledek je dělitelný 222. Dokažte.

  Řešení:
  Označme cifry jako \( a, b, c \), kde \( a, b, c \in \{1, 2, \dots, 9\} \) a jsou různé. Počet trojciferných čísel, které lze vytvořit z těchto cifer, je \( 3! = 6 \).
  Součet všech čísel lze vyjádřit jako:
  \(\ S = 111 \cdot (a + b + c) \ \)
  Protože \( 111 \) je dělitelné \( 222 \), stačí dokázat, že součet \( S \) je dělitelný \( 222 \).
  Vzhledem k tomu, že součet \( 111 \cdot (a + b + c) \) je vždy dělitelný \( 111 \), a \( 222 = 2 \times 111 \), je \( S \) také dělitelný \( 222 \).

• Úloha 3 Zobrazit řešení

  Zadání: Najděte zlomek v základním tvaru, pro který platí: jmenovatel zlomku je o tři větší než čitatel a hodnota zlomku se nezmění, jestliže k čitateli přičteme číslo 1 a ke jmenovateli přičteme číslo 2,5.

  Řešení:
  Označme čitatel jako \( x \) a jmenovatel jako \( x + 3 \). Podle zadání platí:
  \(\ \frac{x}{x+3} = \frac{x+1}{x+5,5} \ \)
  Násobíme křížem:
  \(\ x \cdot (x + 5,5) = (x + 3) \cdot (x + 1) \ \)
  \(\ x^2 + 5,5x = x^2 + x + 3x + 3 \ \)
  \(\ 5,5x = 4x + 3 \ \)
  \(\ 1,5x = 3 \ \)
  \(\ x = 2 \ \)
  Jmenovatel je \( x + 3 = 5 \).
  Zlomek je \(\ \frac{2}{5} \ \).

• Úloha 4 Zobrazit řešení

  Zadání: Součet dvou přirozených čísel je 50, rozdíl jejich aritmetického a geometrického průměru je 18. Určete tato dvě čísla.

  Řešení:
  Označme čísla jako \( x \) a \( y \), kde \( x + y = 50 \).
  Aritmetický průměr je \( \frac{x + y}{2} = 25 \).
  Geometrický průměr je \( \sqrt{xy} \). Podle zadání platí:
  \(\ 25 - \sqrt{xy} = 18 \ \)
  \(\ \sqrt{xy} = 7 \ \)
  \(\ xy = 49 \ \)
  Máme soustavu rovnic:
  \(\ x + y = 50 \ \)
  \(\ xy = 49 \ \)
  Řešením kvadratické rovnice jsou \( x = 1 \) a \( y = 49 \).
  Čísla jsou 1 a 49.

• Úloha 5 Zobrazit řešení

  Zadání: Tři čísla splňují následující podmínky. Dělíme-li součet prvního a druhého čísla třetím číslem, vyjde podíl 1 se zbytkem 2. Dělíme-li součet prvního a třetího čísla číslem druhým, vyjde podíl 2 beze zbytku a při dělení součtu druhého a třetího čísla prvním číslem je podíl 3 se zbytkem 2. Určete tato tři čísla.

  Řešení:
  Označme čísla jako \( a, b, c \). Z podmínek plyne:
  1. \(\frac{a + b}{c} = 1\) se zbytkem 2 \[ a + b = c + 2 \]
  2. \(\frac{a + c}{b} = 2\) beze zbytku \[ a + c = 2b \]
  3. \(\frac{b + c}{a} = 3\) se zbytkem 2 \[ b + c = 3a + 2 \]
  Řešením těchto rovnic dostáváme \( a = 2 \), \( b = 4 \), \( c = 6 \).
  Čísla jsou 2, 4 a 6.

• Úloha 6 Zobrazit řešení

  Zadání: Na schodišti vysokém 3,6 m by se počet schodů zvětšil o 3, kdyby se výška jednoho schodu zmenšila o 4 cm. Kolik schodů má schodiště? Jak jsou schody vysoké?

  Řešení:
  Označíme si počet schodů jako \( n \) a výšku jednoho schodu jako \( v \) v metrech.
  Původní výška schodů je \( n \times v = 3,6 \). Pokud se výška schodu zmenší o 4 cm (tedy \( v - 0,04 \)), počet schodů se zvýší na \( n + 3 \).
  Výška schodů je stále \( 3,6 \) m, takže platí:
  \((n + 3) \times (v - 0,04) = 3,6\)
  Známe také vztah \( n \times v = 3,6 \). Po dosazení a úpravě dostaneme, že počet schodů je \( n = 12 \) a výška jednoho schodu je \( v = 0,3 \) m.

• Úloha 7 Zobrazit řešení

  Zadání: Jana měla vypočítat 70 úloh. Kdyby denně vyřešila o dvě více, než si naplánovala, skončila by o 4 dny dříve. Za kolik dní chtěla původně všechny úlohy vypočítat?

  Řešení:
  Označíme si počet dní, které si Jana původně naplánovala, jako \( d \). Původní počet úloh na den je \( \frac{70}{d} \).
  Pokud by řešila o dvě úlohy více denně, řešila by \( \frac{70}{d} + 2 \) a dokončila by úlohy za \( d - 4 \) dní. Platí tedy:
  \(\frac{70}{d} + 2 = \frac{70}{d - 4}\)
  Po úpravách dostaneme kvadratickou rovnici, jejímž řešením je \( d = 10 \). Jana tedy plánovala řešit úlohy 10 dní.

• Úloha 8 Zobrazit řešení

  Zadání: Malý Pavel skládal kostky stavebnice (kostka má tvar krychle). Chtěl postavit velkou krychli. Zbylo mu však 75 kostek, proto hranu zvětšil o jednu kostku. Potom mu ale 16 kostek chybělo. Kolik kostek měl ve stavebnici?

  Řešení:
  Označíme si původní délku hrany jako \( n \). Původní počet kostek, který Pavel měl, byl \( n^3 + 75 \). Po zvětšení hrany o 1 je počet kostek \( (n + 1)^3 - 16 \). Platí tedy:
  \(n^3 + 75 = (n + 1)^3 - 16\)
  Po rozložení a úpravách dostaneme, že \( n = 4 \). Pavel měl původně \( n^3 + 75 = 139 \) kostek.

• Úloha 9 Zobrazit řešení

  Zadání: Zvětšíme-li jednu stranu obdélníku o 2 cm a druhou zmenšíme o 4 cm, zmenší se obsah obdélníku o 36 cm². Zvětšíme-li obě strany o 1 cm, bude obsah 143 cm². Určete původní rozměry obdélníku.

  Řešení:
  Označíme si původní rozměry obdélníku jako \( a \) a \( b \). Podle zadání máme dvě rovnice:
  \((a + 2)(b - 4) = ab - 36\)
  \((a + 1)(b + 1) = 143\)
  Řešením této soustavy rovnic dostaneme \( a = 11 \) cm a \( b = 13 \) cm.

• Úloha 10 Zobrazit řešení

  Zadání: Jana je třikrát starší než Martin. Za pět let však bude jen dvakrát starší. Kolik let je nyní oběma dětem?

  Řešení:
  Označíme si současný věk Jana jako \( 3x \) a věk Martina jako \( x \). Za 5 let bude platit:
  \(3x + 5 = 2 \cdot (x + 5)\)
  Po úpravě dostaneme \( x = 5 \). Martinovi je nyní 5 let a Janě je 15 let.

• Úloha 11 Zobrazit řešení

  Zadání: Zvětšíme-li stranu čtverce, zvětší se obsah o 21 %. O kolik procent jsme zvětšili stranu čtverce?

  Řešení:
  Označíme si původní délku strany čtverce jako \( a \). Nová strana bude \( a + x \), takže nový obsah bude:
  \((a + x)^2 = a^2 + 0,21a^2\)
  Po úpravě dostaneme, že zvětšení strany je o 10 %.

• Úloha 12 Zobrazit řešení

  Zadání: Cena zboží nejprve vzrostla o 20 %, později klesla o 10 %. O kolik procent se změnila původní cena vzhledem ke konečné ceně zboží?

  Řešení:
  Označíme si původní cenu jako \( P \). Cena po zvýšení o 20 % je \( 1,2P \), a následně po poklesu o 10 % je:
  \(1,2P \times 0,9 = 1,08P\)
  Cena se tedy zvýšila o 8 % oproti původní ceně.

• Úloha 13 Zobrazit řešení

  Zadání: Naplnění bazénu vodou první rourou trvá o dvě hodiny déle než druhou rourou a o 3 hodiny 36 minut déle, než kdyby bazén natékal oběma rourami najednou. Kolik hodin trvá naplnění bazénu jen první rourou? Za jak dlouho by se bazén naplnil jen druhou rourou?

  Řešení:
  Označíme si čas, který trvá naplnění bazénu první rourou, jako \( t_1 \) hodin, a čas, který trvá naplnění druhou rourou, jako \( t_2 \) hodin. Víme, že \( t_1 = t_2 + 2 \) a obě roury naplní bazén za čas o 3 hodiny a 36 minut kratší než první roura.
  Převod času na hodiny: \( 3 \text{ hodiny } 36 \text{ minut } = 3,6 \text{ hodiny} \).
  Využijeme vztah pro současné plnění bazénu oběma rourami a vytvoříme rovnici pro vyřešení. Řešením je, že první roura naplní bazén za 9 hodin a druhá za 7 hodin.

• Úloha 14 Zobrazit řešení

  Zadání: Smícháme 10 litrů 30% roztoku a 15 litrů 50% roztoku. Kolikaprocentní bude výsledný roztok?

  Řešení:
  Obsah účinné látky v prvním roztoku je \( 0,3 \times 10 = 3 \) litry. Obsah účinné látky ve druhém roztoku je \( 0,5 \times 15 = 7,5 \) litru.
  Celkový objem roztoku je \( 10 + 15 = 25 \) litrů a celkový obsah účinné látky je \( 3 + 7,5 = 10,5 \) litrů.
  Koncentrace výsledného roztoku je: \( \frac{10,5}{25} \times 100 = 42\% \)
  Výsledný roztok má koncentraci 42 %.

• Úloha 15 Zobrazit řešení

  Zadání: Kolik litrů destilované vody musíme přilít ke 100 litrům 90% lihu, abychom dostali líh 75 %?

  Řešení:
  Označíme si množství přidávané vody jako \( x \) litrů. Po přidání vody bude celkový objem \( 100 + x \) litrů.
  Obsah lihu zůstane \( 0,9 \times 100 = 90 \) litrů, což tvoří 75 % výsledného roztoku:
  \( \frac{90}{100 + x} = 0,75 \)
  Po úpravě rovnice dostaneme:
  \( 90 = 0,75 \times (100 + x) \)
  \( 90 = 75 + 0,75x \)
  \( 15 = 0,75x \)
  \( x = 20 \)
  Musíme přilít 20 litrů destilované vody.

• Úloha 16 Zobrazit řešení

  Zadání: Kolik litrů vody 60 °C teplé musíme přilít do 30 litrů vody 30 °C teplé, chceme-li, aby výsledná teplota vody byla 40 °C?

  Řešení:
  Označíme si množství přilívané vody jako \( x \) litrů. Výsledná teplota bude 40 °C, takže platí rovnováha tepla:
  \( 60x + 30 \times 30 = (x + 30) \times 40 \)
  \( 60x + 900 = 40x + 1200 \)
  \( 20x = 300 \)
  \( x = 15 \)
  Musíme přilít 15 litrů vody o teplotě 60 °C.

• Úloha 17 Zobrazit řešení

  Zadání: Ze stanic A a B, vzdálených od sebe 170 km, jedou proti sobě dva vlaky. Rychlík, který ujede za hodinu 80 km, vyjel ze stanice A v 8 hodin. Osobní vlak vyjel ze stanice B v 7 hodin 30 minut a jel rychlostí 40 km/h. V kolik hodin a jak daleko od stanice A se oba vlaky potkají?

  Řešení:
  Označíme si čas od vyjetí rychlíku jako \( t \) hodin. Za tuto dobu rychlík ujede \( 80t \) km a osobní vlak, který vyjel o půl hodiny dříve, ujede \( 40(t + 0,5) \) km.
  Platí tedy rovnice:
  \( 80t + 40(t + 0,5) = 170 \)
  \( 80t + 40t + 20 = 170 \)
  \( 120t = 150 \)
  \( t = 1,25 \)
  Vlaky se potkají za 1 hodinu a 15 minut od odjezdu rychlíku, tedy v 9:15, a vzdálenost od stanice A bude \( 80 \times 1,25 = 100 \) km.