Společná práce

• Úloha 1 Zobrazit řešení

  Zadání: Jeden dělník vykoná určitou práci za 10 hodin, druhý za 15 hodin. Za jak dlouho vykonají tuto práci, když budou pracovat oba společně?

  Řešení:
  Společně práci vykonají za 6 hodin.

• Úloha 2 Zobrazit řešení

  Zadání: Na úseku nově budované silnice pokládají dva finišery různé výkonnosti koberec. Položení koberce jedním finišerem by trvalo 78 hodin, druhým 91 hodin. Jak dlouho bude trvat práce při současném nasazení obou strojů?

  Řešení:
  Práce bude trvat 42 hodin.

• Úloha 3 Zobrazit řešení

  Zadání: Mistr s učněm mají vykonat určitou práci. Mistr by ji sám dokončil za 6 dní, učeň za 10 dní. Za kolik dní ji skončí společně?

  Řešení:
  Společně práci dokončí za 3 dny a 18 hodin.

• Úloha 4 Zobrazit řešení

  Zadání: Vyučený pracovník vykoná jistou práci za 4 hodiny, učeň potřebuje na tutéž práci 6 hodin. Za kolik hodin by tuto práci vykonali, kdyby pracovali společně?

  Řešení:
  Společně vykonají práci za 2 hodiny a 24 minut.

• Úloha 5 Zobrazit řešení

  Zadání: Dva zedníci omítají zeď. První by ji omítl za 8 dní, druhý za 12 dní. Za kolik dní budou s prací hotovi, budou-li pracovat společně?

  Řešení:
  Společně vykonají práci za 4,8 dne.

• Úloha 6 Zobrazit řešení

  Zadání: Jeden dělník by vykonal určitou práci za 6 hodin, druhý tutéž práci za 8 hodin. Za kolik hodin vykonají tuto práci společně?

  Řešení:
  Společně vykonají práci za 3 a 3/7 dne.

• Úloha 7 Zobrazit řešení

  Zadání: Dělník by provedl opravu stroje sám za 5 hodin, jeho pomocník sám za 7 hodin. Za jakou dobu provedou tuto práci oba společně?

  Řešení:
  Společně vykonají práci za 2 a 11/12 dne.

• Úloha 8 Zobrazit řešení

  Zadání: První traktorista poseče pole sám za 6 hodin, druhý traktorista poseče stejné pole za dobu o tři hodiny delší. Za jak dlouho posečou celé pole společně?

  Řešení:
  Společně vykonají práci za 3,6 hodiny.

• Úloha 9 Zobrazit řešení

  Zadání: Nádrž se naplní jedním kohoutkem za 8 minut, druhým za 12 minut. Za jak dlouho se naplní, když jsou oba kohoutky otevřeny současně?

  Řešení:
  Nádrž se naplní za 4,8 minut.

• Úloha 10 Zobrazit řešení

  Zadání: Nádrž se naplní jedním přítokem za 30 minut, druhým za 24 minut. Za kolik minut se naplní, jsou-li otevřeny současně?

  Řešení:
  Oběma přítoky se nádrž naplní za 13 a 1/3 minuty.

• Úloha 11 Zobrazit řešení

  Zadání: Zásoba prken vystačí první truhlářské dílně na 36 hodin, druhé dílně na 45 hodin. Za jak dlouho byla zásoba vyčerpána, pokud se pracovalo v obou dílnách zároveň, ale druhá dílna začala pracovat o 9 hodin později než první?

  Řešení:

  Označíme dobu, po kterou pracovala první dílna, jako \( x \) hodin.

  Za 1 hodinu spotřebuje první dílna \( \frac{1}{36} \) zásoby, druhá dílna \( \frac{1}{45} \).

  Druhá dílna pracovala \( x - 9 \) hodin.

  Celková spotřeba je:

  \( \frac{x}{36} + \frac{x - 9}{45} = 1 \)

  Najdeme společného jmenovatele (180):

  \( \frac{5x}{180} + \frac{4(x - 9)}{180} = 1 \)

  \( \frac{5x + 4x - 36}{180} = 1 \Rightarrow \frac{9x - 36}{180} = 1 \)

  \( 9x - 36 = 180 \Rightarrow 9x = 216 \Rightarrow x = 24 \)

  Odpověď: Zásoba prken byla vyčerpána za 24 hodin.

• Úloha 12 Zobrazit řešení

  Zadání: První natěrač natře chalupu za 15 hodin, druhý za 12 hodin a třetí za 10 hodin. Jak dlouho trvalo natírání, pokud nejprve pracovali všichni tři společně a poslední 3 hodiny dokončoval práci pouze druhý natěrač?

  Řešení:

  Za 1 hodinu natře:

  • první natěrač: \( \frac{1}{15} \)
  • druhý natěrač: \( \frac{1}{12} \)
  • třetí natěrač: \( \frac{1}{10} \)

  Společně tedy za hodinu natřou:

  \( \frac{1}{15} + \frac{1}{12} + \frac{1}{10} = \frac{4 + 5 + 6}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \)

  Za \( x \) hodin společné práce natřou \( \frac{x}{4} \), druhý natěrač sám natře za 3 hodiny:

  \( \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \)

  Celkem musí natřít 1 celou chalupu:

  \( \frac{x}{4} + \frac{1}{4} = 1 \Rightarrow \frac{x}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = 3 \)

  Celková doba práce byla \( 3 + 3 = 6 \) hodin.

  Odpověď: Natírání chalupy trvalo 6 hodin.

• Úloha 13 Zobrazit řešení

  Zadání: Dělník vykoná určitou práci za 21 hodin, učeň tutéž práci za 28 hodin. Za kolik hodin vykonají tuto práci společně?

  Řešení:

  Práce za 1 hodinu: dělník \( \frac{1}{21} \), učeň \( \frac{1}{28} \)

  Společně: \( \frac{1}{21} + \frac{1}{28} = \frac{4 + 3}{84} = \frac{7}{84} = \frac{1}{12} \)

  Odpověď: Práci vykonají společně za 12 hodin.

• Úloha 14 Zobrazit řešení

  Zadání: Pole bylo zoráno dvěma traktory různé výkonnosti za 6 hodin. První traktor by zvládl zorat pole sám za 10 hodin. Jak dlouho by trvalo zorat pole druhému traktoru samostatně?

  Řešení:

  Práce za 1 hodinu: první traktor \( \frac{1}{10} \), společně \( \frac{1}{6} \)

  Druhý traktor: \( \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5 - 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \)

  Odpověď: Druhému traktoru by práce trvala 15 hodin.

• Úloha 15 Zobrazit řešení

  Zadání: Bazén se naplní jedním přívodem za 21 hodin a druhým přívodem za 14 hodin. Za jak dlouho se bazén naplní, pokud budou spuštěny oba přívody současně? Výsledek vyjádřete v hodinách a minutách.

  Řešení:

  Průtoky: \( \frac{1}{21} + \frac{1}{14} = \frac{2 + 3}{42} = \frac{5}{42} \)

  Doba napouštění: \( \frac{42}{5} = 8{,}4 \) hodin = 8 h 24 min

  Odpověď: Bazén se naplní za 8 hodin a 24 minut.

• Úloha 16 Zobrazit řešení

  Zadání: Komunikace na sídlišti vyčistí úklidová četa za 24 hodin. Úklidovým autem by šla tatáž práce udělat za 16 hodin. Jak dlouho trvalo čištění, jestliže první 4 hodiny pracovala jen četa a potom pokračovala s pomocí auta?

  Řešení:

  Za 1 hodinu četa: \( \frac{1}{24} \), auto: \( \frac{1}{16} \)

  Četa 4 hodiny: \( \frac{4}{24} = \frac{1}{6} \)

  Zbývá: \( \frac{5}{6} \), tempo společně: \( \frac{1}{24} + \frac{1}{16} = \frac{5}{48} \)

  Doba: \( \frac{5/6}{5/48} = \frac{5}{6} \cdot \frac{48}{5} = 8 \) hodin

  Celkem: \( 4 + 8 = 12 \) hodin

  Odpověď: Čištění trvalo 12 hodin.

• Úloha 17 Zobrazit řešení

  Zadání: První zedník omítne garáž za 12 hodin, druhý za 10 hodin a třetí za 15 hodin. Za jak dlouho omítnou garáž společně?

  Řešení:

  Za hodinu: \( \frac{1}{12} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{5 + 6 + 4}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \)

  Odpověď: Společně omítnou garáž za 4 hodiny.

• Úloha 18 Zobrazit řešení

  Zadání: Prvním postřikovačem lze postříkat sad za 15 hodin, druhým, výkonnějším postřikovačem za 10 hodin. Jak dlouho bude trvat postřik při současném použití obou postřikovačů?

  Řešení:

  Za hodinu: \( \frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{2 + 3}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \)

  Odpověď: Postřik bude hotový za 6 hodin.

• Úloha 19 Zobrazit řešení

  Zadání: Vodojem byl napuštěn dvěma přívody za 1 hodinu 12 minut. Prvním přívodem by se napouštěl 3 hodiny. Jak dlouho by trvalo napuštění pouze druhým přívodem?

  Řešení:

  Celkový čas: \( 1{,}2 \) h = \( \frac{6}{5} \)

  První: \( \frac{1}{3} \), společně: \( \frac{1}{t} \)

  \( \frac{6}{5} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{x} \right) = 1 \Rightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{x} = \frac{5}{6} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \)

  Odpověď: Druhým přívodem by se napustil za 2 hodiny.

• Úloha 20 Zobrazit řešení

  Zadání: Pokud je v provozu pouze první kotel, zásoba nafty vydrží na 14 hodin. Pokud je zapnut jen druhý kotel, vydrží na 10 hodin. Jak dlouho vydrží zásoba, budou-li v provozu oba kotle současně? Výsledek vyjádřete v hodinách a minutách.

  Řešení:

  Spotřeba: \( \frac{1}{14} + \frac{1}{10} = \frac{5 + 7}{70} = \frac{12}{70} = \frac{6}{35} \)

  Doba: \( \frac{35}{6} \approx 5{,}833 \) h = 5 h 50 min

  Odpověď: Zásoba vydrží 5 hodin a 50 minut.

• Úloha 21 Zobrazit řešení

  Zadání: Na tkalcovském stroji se utká požadované množství látky za 12 dní, na druhém za 18 dní. První dva dny pracoval pouze první stroj, zbytek pak oba stroje současně. Za kolik dní bylo vše hotovo?

  Řešení:

  První stroj: \( \frac{1}{12} \), druhý: \( \frac{1}{18} \)

  Za 2 dny: \( 2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{6} \)

  Zbývá: \( \frac{5}{6} \), tempo obou: \( \frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{5}{36} \)

  Čas: \( \frac{5/6}{5/36} = 6 \)

  Odpověď: Práce byla hotova za \( 2 + 6 = 8 \) dní.

• Úloha 22 Zobrazit řešení

  Zadání: Prvním kombajnem lze sklidit pole za 24 hodin, druhým za 20 hodin. S pomocí třetího kombajnu trvala sklizeň všemi třemi strojům jen 8 hodin. Za jak dlouho by pracoval sám třetí kombajn?

  Řešení:

  Za hodinu: \( \frac{1}{24} + \frac{1}{20} + \frac{1}{x} = \frac{1}{8} \)

  Společný výkon prvních dvou: \( \frac{1}{24} + \frac{1}{20} = \frac{11}{120} \)

  \( \frac{11}{120} + \frac{1}{x} = \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{11}{120} = \frac{15 - 11}{120} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30} \)

  Odpověď: Třetí kombajn by pracoval sám 30 hodin.

• Úloha 23 Zobrazit řešení

  Zadání: Nádrž se vyprázdní prvním výpustným kanálem za 78 minut, druhým za 91 minut. Za jak dlouho se nádrž vyprázdní, pokud budou spuštěny oba kanály současně?

  Řešení:

  Za minutu: \( \frac{1}{78} + \frac{1}{91} \)

  Společný jmenovatel: \( 78 \cdot 91 = 7098 \)

  Součet: \( \frac{91 + 78}{7098} = \frac{169}{7098} \)

  Doba: \( \frac{7098}{169} = 42 \)

  Odpověď: Nádrž se vyprázdní za 42 minut.

• Úloha 24 Zobrazit řešení

  Zadání: Na dvou strojích různé výkonnosti se potřebný počet součástek vyrobí za 3 h 45 min. Na prvním stroji by to trvalo 6 hodin. Jak dlouho by to trvalo jen druhému stroji?

  Řešení:

  Čas společně: \( \frac{15}{4} \) h, výkon prvního: \( \frac{1}{6} \)

  \( \frac{15}{4} \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{x} \right) = 1 \Rightarrow \frac{1}{6} + \frac{1}{x} = \frac{4}{15} \)

  \( \frac{1}{x} = \frac{4}{15} - \frac{1}{6} = \frac{8 - 5}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \)

  Odpověď: Druhému stroji by práce trvala 10 hodin.

• Úloha 25 Zobrazit řešení

  Zadání: První sekačkou lze posekat louku za 3 hodiny 20 minut, druhou sekačkou za 2 hodiny. Za jak dlouho posekají louku obě sekačky společně? Výsledek uveďte v hodinách a minutách.

  Řešení:

  Časy: \( \frac{1}{3{,}33} + \frac{1}{2} \approx \frac{3}{10} + \frac{1}{2} = \frac{3 + 5}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)

  Doba: \( \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4} = 1{,}25 \) h = 1 h 15 min

  Odpověď: Louku posekají za 1 hodinu a 15 minut.