Úlohy na směsi

• Úloha 1 Zobrazit řešení

  Zadání: Dva sourozenci – Eva a Petr – ušetřili dohromady 228,- Kč. Eva našetřila třikrát víc než Petr. Kolik našetřil každý z nich?

  Řešení:
  Eva našetřila 171 Kč, Petr našetřil 57 Kč.

• Úloha 2 Zobrazit řešení

  Zadání: Cestující jel vlakem, autobusem a autem. Za cestu autem zaplatil pětkrát tolik než za cestu vlakem, za cestu autobusem třikrát tolik než cestu vlakem. Celkem zaplatil 162,- Kč. Kolik zaplatil za cestu vlakem, autobusem a autem?

  Řešení:
  Cesta vlakem stála 18 Kč, autobusem 54 Kč, autem 90 Kč.

• Úloha 3 Zobrazit řešení

  Zadání: 159 žáků několika škol bylo ubytováno ve třech chatách označených A, B, C. V chatě B bydlelo o 8 žáků méně než v chatě A a v chatě C o 14 žáků více než v chatě A. Kolik žáků bydlelo v jednotlivých chatách?

  Řešení:
  V chatě A bylo ubytováno 51 žáků, v chatě B 43 žáků, v chatě C 65 žáků.

• Úloha 4 Zobrazit řešení

  Zadání: Pro zlepšení životního prostředí bylo vysázeno celkem 720 dubů, javorů a lip. Kolik bylo vysázeno stromků každého druhu, jestliže javorů bylo o 90 více než lip a dubů sedmkrát více než lip?

  Řešení:
  Bylo vysázeno 70 lip, 160 javorů a 490 dubů.

• Úloha 5 Zobrazit řešení

  Zadání: Budík, dámské hodinky a pánské hodinky stojí celkem 1 370,- Kč. Kolik stojí každý z těchto předmětů, jestliže dámské hodinky jsou šestkrát dražší než budík a pánské hodinky jsou o 200,- Kč dražší než dámské hodinky?

  Řešení:
  Budík stojí 90 Kč, dámské hodinky 540 Kč, pánské hodinky 740 Kč.

• Úloha 6 Zobrazit řešení

  Zadání: Elektrický kabel dlouhý 28 metrů rozdělte na dvě části tak, aby jedna byla 2,5krát delší než druhá.

  Řešení:
  Kratší část měří 8 m a delší část měří 20 m.

• Úloha 7 Zobrazit řešení

  Zadání: Vodácký oddíl má 90 členů. Starších dorostenců je v oddíle čtyřikrát více než mladších dorostenců. Zato starších žáků je v oddíle o 10 více než všech dorostenců. Kolik je v oddíle starších a mladších dorostenců a kolik starších žáků?

  Řešení:
  Mladších dorostenců je 8, starších dorostenců 32, starších žáků 50.

• Úloha 8 Zobrazit řešení

  Zadání: V autobusu je 36 cestujících. Žen je o 7 více než mužů, dětí je o 22 méně než dospělých. Kolik je v autobusu mužů, kolik žen a kolik dětí?

  Řešení:
  V autobusu je 11 mužů, 18 žen a 7 dětí.

• Úloha 9 Zobrazit řešení

  Zadání: Dvěma bratrům je dohromady 21 let. Jeden z nich je o 10 let starší než druhý. Určete jejich věk.

  Řešení:
  Mladšímu bratrovi je 5,5 roku, staršímu 15,5 roku.

• Úloha 10 Zobrazit řešení

  Zadání: Studentská rada koupila dva různé druhy sladkostí na školní jarmark. Zakoupili 40 kilogramů sladkostí za 64 Kč za kilogram a \( x \) kilogramů sladkostí za 56 Kč za kilogram. Kolik kilogramů sladkostí celkem nakoupili, pokud celková částka za sladkosti byla 4800 Kč?

  Řešení:

  Celková cena sladkostí se počítá jako součet cen obou druhů:

  \( 64 \cdot 40 + 56 \cdot x = 4800 \)

  \( 2560 + 56x = 4800 \)

  \( 56x = 2240 \)

  \( x = 40 \)

  Celkové množství sladkostí: \( 40 + 40 = 80 \) kilogramů.

  Odpověď: Studentská rada nakoupila celkem 80 kg sladkostí.

• Úloha 11 Zobrazit řešení

  Zadání: Manažerka zahradnictví objednala dva různé druhy semínek aksamitníků pro svou prodejnu. První typ stál 25 Kč za balení, druhý typ stál 32 Kč za balení. Kolik balení prvního typu koupila, pokud zakoupila o 50 balení více druhého typu než prvního a celkově utratila 10 150 Kč?

  Řešení:

  Označíme počet balení prvního typu jako \( x \).
  Druhého typu tedy bylo \( x + 50 \).

  Celková cena je dána součtem cen obou typů:

  \( 25x + 32(x + 50) = 10150 \)

  \( 25x + 32x + 1600 = 10150 \)

  \( 57x + 1600 = 10150 \)

  \( 57x = 8550 \)

  \( x = 150 \)

  Odpověď: Manažerka koupila 150 balení prvního typu semínek.

• Úloha 12 Zobrazit řešení

  Zadání: Petr je o 2 roky mladší, než kdyby byl dvakrát starší než Eliška. Součet dvojnásobku Petrova věku a trojnásobku Eliščina věku je 66 let. Kolik let je Elišce?

  Řešení:

  Označíme věk Elišky jako \( x \).
  Petr je o 2 roky mladší, než kdyby byl dvakrát starší než Eliška, takže:

  \( \text{Petr} = 2x - 2 \)

  Součet dvojnásobku Petrova věku a trojnásobku Eliščina věku je 66:

  \( 2(2x - 2) + 3x = 66 \)

  \( 4x - 4 + 3x = 66 \)

  \( 7x - 4 = 66 \)

  \( 7x = 70 \)

  \( x = 10 \)

  Odpověď: Elišce je 10 let.

• Úloha 13 Zobrazit řešení

  Zadání: Dvojnásobek čísla zvýšený o 11 se rovná o 32 méně než trojnásobek tohoto čísla. Jaké je toto číslo?

  Řešení:

  Označíme hledané číslo jako \( x \).

  Dvojnásobek čísla zvýšený o 11: \( 2x + 11 \)
  Trojnásobek čísla snížený o 32: \( 3x - 32 \)

  Podle zadání platí:

  \( 2x + 11 = 3x - 32 \)

  \( 11 + 32 = 3x - 2x \)

  \( 43 = x \)

  Odpověď: Hledané číslo je 43.

• Úloha 14 Zobrazit řešení

  Zadání: Pokud se 1 přičte k rozdílu čísel \( 10x \) a \( -18x \), výsledek je 57. Jaká je hodnota \( x \)?

  Řešení:

  Rozdíl čísel \( 10x \) a \( -18x \) je:

  \( 10x - (-18x) = 10x + 18x = 28x \)

  Přičtením 1 dostáváme rovnici:

  \( 28x + 1 = 57 \)

  \( 28x = 56 \)

  \( x = 2 \)

  Odpověď: Hodnota \( x \) je 2.

• Úloha 15 Zobrazit řešení

  Zadání: David strávil \( \frac{3}{8} \) svého sobotního volného času sledováním repríz v televizi, \( \frac{3}{16} \) času úklidem, \( \frac{1}{4} \) času čtením knihy a 30 minut brouzdáním na internetu. Kolik minut strávil sledováním televize?

  Řešení:

  Označíme celý sobotní volný čas jako \( x \) minut.

  Podle zadání platí:

  \( \frac{3}{8}x + \frac{3}{16}x + \frac{1}{4}x + 30 = x \)

  Převedeme všechny zlomky na společného jmenovatele (16):

  \( \frac{6}{16}x + \frac{3}{16}x + \frac{4}{16}x + 30 = x \)

  \( \frac{13}{16}x + 30 = x \)

  Odečteme \( \frac{13}{16}x \) od obou stran:

  \( 30 = x - \frac{13}{16}x = \frac{3}{16}x \)

  Vynásobíme obě strany rovnice 16:

  \( 480 = 3x \)

  \( x = 160 \)

  David měl celkem 160 minut volného času.
  Čas strávený sledováním televize byl \( \frac{3}{8} \cdot 160 = 60 \) minut.

  Odpověď: David strávil sledováním televize 60 minut.

• Úloha 16 Zobrazit řešení

  Zadání: Radek měl s sebou nějaké peníze na nákup. V jednom obchodě utratil 660 Kč, pak utratil třetinu ze zbytku v jiném obchodě, zastavil se v knihovně, kde zaplatil pokutu 44 Kč, a nakonec si zbylých 418 Kč uložil do bankomatu. Kolik peněz měl Radek původně?

  Řešení:

  Označíme původní částku jako \( x \) Kč.

  Po utracení 660 Kč mu zůstalo \( x - 660 \) Kč.

  Pak utratil třetinu z této částky: zůstalo mu \( \frac{2}{3}(x - 660) \) Kč.

  Po zaplacení pokuty 44 Kč mu zůstalo 418 Kč:

  \( \frac{2}{3}(x - 660) - 44 = 418 \)

  Sečteme:

  \( \frac{2}{3}(x - 660) = 462 \)

  \( x - 660 = \frac{3}{2} \cdot 462 = 693 \)

  \( x = 693 + 660 = 1353 \)

  Odpověď: Radek měl původně 1353 Kč.

• Úloha 17 Zobrazit řešení

  Zadání: Kreditní karta nabízí dvě možnosti odměn po třech letech používání. Varianta A: jednorázový bonus 1340 Kč. Varianta B: 400 Kč plus dalších 14,40 Kč za každý den používání během následujícího roku. Kolik dní je třeba kartu používat, aby byla varianta B výhodnější než varianta A?

  Řešení:

  Označíme počet dní, kdy je karta používána, jako \( d \).

  Varianta A nabízí 1340 Kč.

  Varianta B nabízí \( 400 + 14{,}4 \cdot d \) Kč.

  Chceme, aby B byla výhodnější než A:

  \( 400 + 14{,}4 \cdot d > 1340 \)

  \( 14{,}4 \cdot d > 940 \)

  \( d > \frac{940}{14{,}4} \approx 65{,}28 \)

  Nejmenší celé číslo větší než 65,28 je 66.

  Odpověď: Kartu je třeba používat alespoň 66 dní.

• Úloha 18 Zobrazit řešení

  Zadání: Součet tří po sobě jdoucích lichých čísel je 159. Urči největší z těchto čísel.

  Řešení:

  Označíme nejmenší liché číslo jako \( x \).

  Další dvě budou \( x + 2 \) a \( x + 4 \).

  Součet těchto čísel je:

  \( x + (x + 2) + (x + 4) = 159 \)

  \( 3x + 6 = 159 \)

  \( 3x = 153 \Rightarrow x = 51 \)

  Největší číslo je \( x + 4 = 55 \).

  Odpověď: Největší číslo je 55.

• Úloha 19 Zobrazit řešení

  Zadání: Jeden rozměr obdélníku je o 10 cm kratší než druhý. Obvod obdélníku je 136 cm. Jaké jsou jeho rozměry? (Uveď nejprve kratší stranu.)

  Řešení:

  Označíme kratší stranu jako \( x \) cm, delší strana je \( x + 10 \) cm.

  Obvod obdélníku je dán vzorcem \( 2x + 2(x + 10) = 136 \)

  \( 2x + 2x + 20 = 136 \)

  \( 4x = 116 \Rightarrow x = 29 \)

  Delší strana: \( 29 + 10 = 39 \)

  Odpověď: Rozměry obdélníku jsou 29 cm a 39 cm.

• Úloha 20 Zobrazit řešení

  Zadání: Hanka jede na lodi 4 km po proudu a trvá jí to 7,5 minuty. Zpět proti proudu jí stejnou trasu trvá 12 minut. Jaká je rychlost proudu řeky v km/h?

  Řešení:

  Označíme rychlost lodi bez proudu jako \( v \) a rychlost proudu jako \( r \) (v km/h).

  Čas po proudu: 7,5 min = 0,125 h, proti proudu: 12 min = 0,2 h.

  Po proudu: \( v + r = \frac{4}{0{,}125} = 32 \)

  Proti proudu: \( v - r = \frac{4}{0{,}2} = 20 \)

  Sečteme rovnice: \( v + r + v - r = 32 + 20 \Rightarrow 2v = 52 \Rightarrow v = 26 \)

  Dosadíme zpět: \( 26 + r = 32 \Rightarrow r = 6 \)

  Odpověď: Rychlost proudu je 6 km/h.

• Úloha 21 Zobrazit řešení

  Zadání: Na farmě pana Nováka projdou večer zvířata branou s počítadlem nohou. Celkem projde 108 nohou. Pan Novák ví, že má o 12 slepic více než prasat. Kolik má slepic a kolik prasat? (Uveď nejprve počet slepic.)

  Řešení:

  Označíme počet prasat jako \( x \), pak počet slepic je \( x + 12 \).

  Prase má 4 nohy, slepice 2 nohy. Celkový počet nohou je:

  \( 4x + 2(x + 12) = 108 \)

  Roznásobíme:

  \( 4x + 2x + 24 = 108 \)

  \( 6x + 24 = 108 \Rightarrow 6x = 84 \Rightarrow x = 14 \)

  \( x + 12 = 26 \)

  Odpověď: Pan Novák má 26 slepic a 14 prasat.

• Úloha 22 Zobrazit řešení

  Zadání: Filtr na vodu byl z 1/4 plný. Joska dolil 19 litrů vody a filtr byl najednou z 7/8 plný. Kolik litrů vody se do filtru vejde celkem?

  Řešení:

  Rozdíl mezi \( \frac{7}{8}V \) a \( \frac{1}{4}V = \frac{2}{8}V \) je \( \frac{5}{8}V = 19 \).

  Celkový objem: \( V = \frac{19 \cdot 8}{5} = 30{,}4 \)

  Odpověď: Filtr pojme 30,4 litru vody.

• Úloha 23 Zobrazit řešení

  Zadání: V trojúhelníku je nejmenší úhel o 20° menší než střední, střední je polovinou největšího. Najdi všechny tři úhly.

  Řešení:

  Největší úhel označíme jako \( x \).

  Střední úhel je \( \frac{1}{2}x \), nejmenší je \( \frac{1}{2}x - 20 \).

  Součet všech úhlů je:

  \( x + \frac{1}{2}x + (\frac{1}{2}x - 20) = 180 \)

  \( 2x - 20 = 180 \Rightarrow x = 100 \)

  Střední úhel: \( 50 \), nejmenší úhel: \( 30 \)

  Odpověď: Úhly mají velikost 30°, 50° a 100°.

• Úloha 24 Zobrazit řešení

  Zadání: Průměr devíti čísel je 27, průměr pěti z nich je 25. Jaký je průměr zbývajících čtyř?

  Řešení:

  Součet všech čísel: \( 9 \cdot 27 = 243 \)

  Součet pěti čísel: \( 5 \cdot 25 = 125 \)

  Součet zbývajících čtyř: \( 243 - 125 = 118 \)

  Průměr těchto čtyř čísel: \( \frac{118}{4} = 29{,}5 \)

  Odpověď: Průměr zbývajících čtyř čísel je 29,5.

• Úloha 25 Zobrazit řešení

  Zadání: Velikost farmy vzrostla z 70,4 ha na 180,4 ha. Urči procentuální nárůst (zaokrouhli na desetinu procenta).

  Řešení:

  Rozdíl velikostí: \( 180{,}4 - 70{,}4 = 110 \)

  Procentuální nárůst: \( \frac{110}{70{,}4} \cdot 100 \approx 156{,}25 \)

  Odpověď: Průměrná velikost farmy vzrostla o 156,3 %.